Question

已知一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0(a≠0)有三个实数根X1、X2、X3，求证：

X1+X2+X3＝- b/a
X1X2+X2X3+X3X1＝c/a
X1X2X3＝- d/a

Answer 1

用一元三次方程的万能公式——范盛金公式

三次方程新解法——盛金公式解题法
A new means
to solving a problem in mathematics
on the cubic equations in Shengjin’s formulas

Shengjin’s Formulas
and Shengjin’s Distinguishing Means
and Shengjin’s Theorems from the Writings
to introduce to you and to solving a problem in mathematics
盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍
三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。

盛金公式
Shengjin’s Formulas

一元三次方程aX3＋bX2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：
A=b2－3ac；
B=bc－9ad；
C=c2－3bd，
总判别式：
Δ=B2－4AC。

当A=B=0时，盛金公式①（WhenA=B=0，Shengjin’s Formula①）：
X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。

当Δ=B2－4AC>0时，盛金公式②（WhenΔ=B2－4AC>0，Shengjin’s Formula②）：
X1=(－b－(Y11/3＋Y21/3))/(3a)；
X2，3=(－2b＋Y11/3＋Y21/3±31/2 (Y11/3－Y21/3)i)/(6a)；
其中Y1，2=Ab＋3a (－B±(B2－4AC)1/2)/2，i2=－1。

当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式③（WhenΔ=B2－4AC =0，Shengjin’s Formula③）：
X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，
其中K=B/A，(A≠0)。

当Δ=B2－4AC<0时，盛金公式④（WhenΔ=B2－4AC<0，Shengjin’s Formula④）：
X1= (－b－2A1/2cos(θ/3) )/(3a)；
X2，3= (－b＋A1/2(cos(θ/3)±31/2sin(θ/3)))/(3a)；
其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A3/2)，(A>0，－1<T<1)。

盛金判别法
Shengjin’s Distinguishing Means

①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；
②：当Δ=B2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；
③：当Δ=B2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
④：当Δ=B2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。

盛金定理
Shengjin’s Theorems

当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。
当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答：

盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。
盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理5：当A＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。
盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。
盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。
盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1＜T＜1。
显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。
注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ＞0时，不一定有A＜0。
盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。
当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方（WhenΔ=0,Shengjin’s formula is not with radical sign, and efficiency higher for solving an equation）。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B2－4AC)1/2)/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。

Answer 2

根据题意,可设该方程为
m(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0
乘开后又
m[x³-(x1+x2+x3)x²+(x1x2+x2x3+x3x1)x-x1x2x3]=0
所以
m=a -m(x1+x2+x3)=b m(x1x2+x2x3+x3x1)=c -mx1x2x3=d
得到X1+X2+X3＝- b/a
X1X2+X2X3+X3X1＝c/a
X1X2X3＝- d/a

Answer 3

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