Question

在数列{an}中,a1=2,an+1=an+1/an,求证an大于根号（2n+1）

Answer 1

证明:a1=2>√3
假设ak>√(2k+1)
则a(k+1)=ak+1/ak
=√(2k+1)+1/√(2k+1)
=(2k+2)/√(2k+1)
下面证明(2k+2)/√(2k+1)>√(2k+3)
√(2k+1)*√(2k+1)=√(4k²+8k+3)<√(4k²+8k+3=4)<2k+2
所以(2k+2)/√(2k+1)>√(2k+3)
a(k+1)>√(2k+3)
得证
数学归纳法

追问

ak+1/ak
=√(2k+1)+1/√(2k+1)
那个不是应该是大于号吗？

追答

是的 大于号 写错了
a(k+1)=ak+1/ak
>√(2k+1)+1/√(2k+1)
=(2k+2)/√(2k+1)

Answer 2

对2楼huoshanbdzd的证明的不足之处做一点补充：
对于函数f(x)=x+1/x，当x>1时，函数单调递增（函数性质，可以自行证明）
因此a_(k+1)=a_k+1/a_k>sqr(a_k+1)+1/sqr(a_k+1) （sqr为根号）
其余部分都是正确的

Answer 3

能不能把括号写上去，+1到底是下标还是运算过程

追问

a（n+1）=an+1/an

Answer 4

将问题转化为证明
(an)^2>2n+1,所以想到对原式两边去平方,得到（an+1）^2=(an)^2+2+(1/an)^2>(an)^2+2,将(an)^2看做一个整体,这相当于用不等号连接的通项公式,首项(a1)^2=4,公差为2,所以(an)^2>2n+2,得证.