Question

设数列｛an}满足a1=2,an+1=an+1/an(n=1,2,3......),证明：an>根号下（2n+1).急用

Answer 1

证明：(开方即 1/2 次方,用^表示)
n=1时，A_1 = 4^(1/2) = 2 > (2*1 + 1)^(1/2) = 3^(1/2);
假设n=k时，A_k > (2k + 1)^(1/2);
则n=(k+1)时，A_(k+1) = A_k + 1/A_k;
欲证结果，只需证（A_k + 1/A_k）^2 > (2k + 3);而
（A_k + 1/A_k）^2 = (A_k)^2 + 2 + 1/[(A_k)^2] > 2k + 1 + 2 + 1/[(A_k)^2] = (2k + 3) + 1/[(A_k)^2];
易知A_k > 0且单调递增。因而1/[(A_k)^2] > 0;
所以，（A_k + 1/A_k） > (2k + 3)^(1/2)