Question

试求关于x,y的方程 x²＋y²＝208（x－y）的所有正整数解

Answer 1

引理：若正整数x,y满足x^2+y^2=t(x-y)，其中t为偶数，则x,y都是偶数。
证明：等式右边是偶数，所以左边也是偶数，知x^2和y^2同时为奇数或同时为偶数，所以x和y同时为奇数或同时为偶数。假设x和y都是奇数，设为x=2a+1,y=2b+1，则上式成为(2a+1)^2+(2b+1)^2=t[(2a+1)-(2b+1)]，展开后得4(a^2+a+b^2+b)+2=2t(a-b)，右边能被4整除（因为t是偶数）而左边不能（余数是2），得到矛盾。所以x,y必然都是偶数。
现在有x^2+y^2=208(x-y)。由引理知x和y都是偶数，可设为x=2x',y=2y'。代入方程得4(x'^2+y'^2)=416(x'-y')，所以x'^2+y'^2=104(x'-y')。再由引理可知x'和y'都是偶数，可设为x'=2x'',y'=2y''（x=4x'',y=4y''）。重复此过程，最终可得到x=16a,y=16b，且满足方程a^2+b^2=13(a-b)。
移项知b^2+13b=13a-a^2，即b(b+13)=a(13-a)。左边>0，所以右边>0，知a所以所求的解为x=16a,y=16b，即x=48,y=32和x=160,y=32

Answer 2

等式右边是偶数，所以左边也是偶数，
所以x^2和y^2同时为奇数或同时为偶数，
假设x和y都是奇数，设为x=2a+1,y=2b+1，
则上式成为(2a+1)^2+(2b+1)^2=208[(2a+1)-(2b+1)]，
展开后得4(a^2+a+b^2+b)+2=416(a-b)，
右边能被4整除而左边不能（余数是2），得到矛盾。
所以x,y必然都是偶数。
x和y都是奇数，设为x=2a,y=2b，
所以a^2+b^2=104(a-b)
同上推导知道a，b为偶数，重复此过程，最终可得到x=16m,y=16n，
且满足方程m^2+n^2=13(m-n)。
移项知n^2+13n=13m-m^2，即n(n+13)=m(13-m)。
左边>0，所以右边>0，知a<13。
可将a=1,2,...,12逐一代入此方程，
易得全部解为m=3,m=2和m=10,n=2。
所以所求的解为x=16m,y=16n，
即x=48,y=32和x=160,y=32