Question

有关抽象函数单调性判断

题目如下：已知函数f(x)对于任意实数x,y总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x大于0时，f(x)小于0. f(1) = -2/3 .求证f(x)在R是减函数 老师讲了一下，没太懂，还望网络高人指点！省着我去问老师……快开学了，高一新人报到……

Answer 1

例题：已知函数f(x)对任意x,y∈R均满足：f(x+y)=f(x)+f(y)；f(1)=2；当且仅当x<0时，f(x)<0，
求：当-3≤x≤3时，求f(x)的最大值与最小值。

解：在方程f(x+y)=f(x)+f(y)中取x=0,y=0，可得f(0)=0，
取y=-x，可得f(x)=-f(-x)，即函数f(x)是奇函数，
在f(x)的定义域R内任取x1，x2，使x1<x2，即x1-x2<0
则f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0，
故f(x)在定义域R内是单调递增函数，
因为f(1)=2，所以f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=6，f(-3)=-f(3)=-6，
因为f(x)在定义域R内是单调递增函数，故
当-3≤x≤3，求f(x)的最大值为6，最小值-6

思路总结：
对于类似的题目，要想办法应用单调性的定义证明，
并且要从题目所给的条件深刻挖掘出有利的信息，
可能时可以使用导数方法证明单调性。 参考资料：思路总结为原创，例题与解答出自http://zhidao.baidu.com/question/260595588.html