Question

正定矩阵为什么是对称矩阵？各位大虾，能详细说明一下么！

Answer 1

因为在线性代数里，正定矩阵 有时会简称为正定阵。在双线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式，所以也是对称矩阵。

1. 正定矩阵的广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zMz> 0，其中z 表示z的转置，就称M正定矩阵。例如:B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。aE+B在a充分大时，aE+B为正定矩阵。(B必须为对称阵)

2. 正定矩阵的狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zMz> 0。其中z表示z的转置。

Answer 2

正定矩阵不一定是实对称阵或Hermite阵，完全可以非对称。
一般教材上只讨论对称正定阵，一方面对于二次型而言研究对称阵比较方便而且足够用了，另一方面非对称的正定阵毕竟特征值要复杂很多，不如对称正定阵的性质好，所以普通教材上就不讲了。

追问

但我在多本教科书上看到正定矩阵必须是对称矩阵啊！

追答

写教材当然是要讲究目的的，大多数情况下作者并不想让初学者纠结于困难的问题而抓不住重点，所以不讨论复杂的东西。推广的事情可以放到将来去做，这不是对初学者的要求。
比如说吧，初中教材里明确规定了负数不能开平方，高中里引进复数之后就没这个限制了，这个你总经历过的吧。
另外也不要迷信教材，有少数情况下作者本身的知识太少导致教材上的东西太片面或有错误。

追问

我知道存在这么一种情况，
例如：M= 1 1 ，
-1 1
M为非对称矩阵，可以用向量x=(x1,x2), f=x'Mx = x1^2 + x2^2 >0，当x不是0的情况下,显然f正定。
但这并不意味着M正定，因为定义限制了，正定矩阵就要求必须是实对称矩阵！我仔细查阅了一下，
正定矩阵的定义：设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量X=(x1,...,xn) 都有 x'Mx>0，就称M正定。

追答

一般来讲，M是n阶实系数矩阵， 如果对任何非零列向量X=(x1,...,xn)' 都有 x'Mx>0，就称M正定。
只是因为你没有见过这种较弱的定义，而不是说不能这样去定义。

M正定的充要条件是M+M'对称正定。
非对称的正定阵和对称正定阵有很多类似的性质。

Answer 3

呵呵 电灯学的比较深, 太专业了, 反而把简单的搞复杂了!

线性代数范围内, 正定矩阵的前提就是对称的

因为正定矩阵的定义来源于正定二次型, 而二次型的矩阵是对称矩阵

追问

我想问一下，电灯说——M正定的充要条件是M+M'对称正定。为什么呢？
我查了一下，百度贴吧说——一个实系数矩阵M（不一定是对称阵）满足对所有非零实向量x，有x'Mx > 0，当且仅当对称矩阵 (M + M') / 2是正定矩阵
求lry31383 指导啊！！！

追答

因为 x'Mx 是一个数, 所以 x'Mx = (x'Mx)' = x'M'x
所以 x' ( M + M' )/2 x = ( x'Mx + x'M'x)/2 = (x'Mx+x'Mx)/2 = x'Mx
所以有 x'Mx > 0 当且仅当 x' ( M + M' )/2 x > 0, 即 x' ( M + M' )/2 x 是正定的

追问

x'Mx 怎么会是一个数呢？再说x'Mx = (x'Mx)' 是怎么来的呢？求解释

追答

x 是n*1
M 是 n*n
x' 是 1*n
所以 x'Mx 是 1*1 的矩阵, 即为一个数
所以 x'Mx = (x'Mx)'

追问

在我看来，f= x'Mx，是一个二次型，也就是一个关于x的表达式！
我知道，1行1列矩阵可以看成一个实数，而此时原矩阵的转置等于其本身，你的意思是将这个表达式看成一个实数对么？请问一下，你是这个意思么？

追答

上面说的很清楚了

Answer 4

首先你x*Mx要跟0比较，所以x*Mx必须是实数(x∈C是复数域上的向量，所以用x*Mx，而不是x'Mx）。任何矩阵都可以写成H+iK的形式（H、K是Hermite矩阵），假设M=H+iK，x*Mx=x*(H+iK）x=x*Hx+ix*Kx （1），Hermite矩阵的特征值都是实数，Hermite矩阵的二次型也是实数（自己证吧，很简单）。（1）要是实数，所以x*Kx=0，K=0.所以M=H也是Hermite矩阵。所以说在复数域上正定矩阵必然是Hermite矩阵(A=A*，A*就是A的共轭转置）。

至于楼上说M= 1 1 ，那你把复向量x=（i，1）带到x*Mx里面去试试看看等于多少，答案是一个复
-1 1

数，就不能跟0比较了呗，正定也就无从谈起。

所以说，复数域上的正定矩阵一定是Hermite矩阵。有疑问的可以问我，大家共同探讨。