Question

怎么能只根据A是实对称矩阵还有特征值和一个特征向量就求出其他特征向量？

已知B是实对称矩阵，特征值u1=-2，u2=u3=1，属于u1的特征向量是（1，-1，1）T

设属于u2和u3的特征向量是（x1，x2，x3）T，则

x1-x2+x3=0，
于是特征向量
β2=（1，1，0）T
β3=（-1，0，1）T

这个β怎么出来的？

Answer 1

这个是由实对称矩阵的基本性质得到的。
首先，实对称矩阵一定可以正交对角化，也就是说存在正交阵Q和对角阵D使得A=QDQ^T，这个结论叫谱分解定理，是实对称阵最深刻的性质。
另一方面，实对称阵属于不同特征值的特征向量一定正交，这个可以直接验证，也可以从谱分解得到。

回到你的问题，u2和u3是两重特征值，并且一定有两个线性无关的特征向量β2，β3。
再利用正交性得到x1-x2+x3=0，而这个方程的非零解也一定是u2或u3的特征向量，取出这个方程的解空间的一组基就可以作为u2和u3的特征向量。

追问

那我取（0，1，1）也行？不是吧？

追答

当然可以