Question

已知向量a=(cos3x/2,sin3x/2),向量b=(cosx/2,-sinx/2),x∈[-π/3,π/2]

(1)求证（a-b）垂直（a+b） (2)a+b的膜=1/3 ，求cosx的值；（3）求函数f(x)=a*b+2|a=b|的最小值

Answer 1

第一问，
a=（cos3x/2，sin3x/2），b=（cosx/2，-sinx/2）
(1) a+b=(cos3x/2+cosx/2, sin3x/2-sinx/2)
a-b=(cos3x/2-cosx/2, sin3x/2+sinx/2)
(a+b)*(a-b)=(cos3x/2+cosx/2)(cos3x/2-cosx/2)+(sin3x/2-sinx/2)(sin3x/2+sinx/2)
=(cos3x/2)^2-(cosx/2)^2+(sin3x/2)^2-(sinx/2)^2
=1-1=0
所以：（a+b）⊥（a-b）

第二问，|a+b|^2=(cos3x/2+cosx/2)^2+(sin3x/2-sinx/2)^2
=(cos3x/2)^2+(cosx/2)^2+2cos3x/2cosx/2+(sin3x/2)^2+(sinx/2)^2-2sin3x/2sinx/2
=2+2cos(3x/2+x/2)=2+2cos2x=1/9
所以cos2x=-17/18，sin2x可以是根号35/18或者-根号35/18
x∈[-π/5,π/2]，2x∈[-2π/5,π]，因为cos2x<0,所以2x∈[π/2,π]
所以sin2x只能是根号35/18

3.绝对值a+b=√[(cos3x/2+cosx/2)^2+(-sin3x/2+sinx/2)^2]
=√(2+2cos3x/2cosx/2-2sin3x/2sinx/2)
=√(2+2cos2x)
=2cosx
f(x)=a·b-1/2λ│a+b│
=cos3x/2cosx/2-sin3x/2sinx/2-λcosx
=cos2x-λcosx
=2(cosx)^2-1-λcosx=2(cosx-λ/4)^2-2(λ/4)^2-1……之前(λ/4)^2前面少了个2，计算马虎，sorry
则cosx-λ/4=0时f(x)取得最小值 -2(λ/4)^2-1=-3/2
解得λ=2

Answer 2

1。 a-b=(cos3x/2-cosx/2,sin3x/2+sinx/2). a+b=(cos3x/2+cosx/2,sin3x/2-sinx/2) ·········啊···忘了公式了···很久没有看数学了···