Question

设方程X^-2X-1的两根为X1,X2,求分别以下列两数为根的一元二次方程:(1)X1^,X2^ (2)-X1,-X2.

Answer 1

对于方程x^2-2x-1=0，它的两根为x1,x2，由根与系数关系（或韦达定理）可得：
x1+x2=2，x1x2=-1。
故有：x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=2^2-2*(-1)=6，x1^2*x2^2=(x1x2)^2=1。
应用韦达定理的逆定理可知，以x1^2和x2^2为根的一元二次方程是：x^2-6x+1=0
同理，因为(-x1)+(-x2)=-(x1+x2)=-2，(-x1)*(-x2)=x1x2=-1，以-x1和-x2为根的一元二次方程是x^2+2x-1=0.

Answer 2

题目应该是“设方程X²-2X-1=0的两根为X1,X2,”吧。
解：∵X1、X2是方程X²-2X-1=0的两根，
则X1＋X2=2，X1·X2=-1
∴X1²+X2²=（X1+X2）²+2X1·X2=2²+2×（-1）=4+（-2）=2
X1²·X2²=（X1·X2）²=（-1）²=1
∴-X1+（-X2）=-（X1+X2）=-2
（-X1）×（-X2）=X1·X2=-1
∴（1）、以X1²、X2²为根的方程是：X²-2X+1=0
（2）、以-X1、-X2为根的方程是：X²+2X-1=0

Answer 3

设方程x²-2x-1=0的两根为x₁，x₂,求分别以下列两数为根的一元二次方程:(1)x²₁，x²₂；
(2) -x₁，-x₂；
解：(1). x₁+x₂=2，x₁x₂=-1；故(x₁+x₂)²=x²₁+x²₂+2x₁x₂=x²₁+x²₂-2=4；
故x²₁+x²₂=6，x²₁x²₂=(x₁x₂)²=1；∴以x²₁，x²₂为二根的方程为：x²-6x+1=0
(2). -x₁-x₂=-(x₁+x₂)=-2，（-x₁)(-x₂)=x₁x₂=-1，故以-x₁，-x₂为二根的方程为：
x²+2x-1=0.