Question

三角形ABC的三边长分别为a,b,c,且1/a-1/b+1/c=1/(a-b+c).试判断三角形ABC的形状

Answer 1

等腰三角形
1/a-1/b+1/c=1/(a-b+c) 等式两边都乘以b
得b/a-1+b/c=b/(a-b+c) 右边分子分母都除以b
即b/a-1+b/c=1/[(a/b)-1+(c/b)]
设b/a=x b/c=y
则 x+y-1=1/（1/x+1/y-1）
即x+y-1=xy/（x+y-xy）
化简后 因式分解即 （x-1）*（y-1）*（x+y）=0
x+y>0
所以x-1=0 或y-1=0
所以 b=a或 b=c

Answer 2

原式化为
1/a-1/b=1/(a-b+c)-1/c
=>(b-a)/ab=(b-a)/[c(a-b+c)]
若b-a=0，则三角形是
等腰三角形
原式化为1/c=1/c(检验这个是为了验证是否是等边三角形，显然原式成立，不一定要求是等边）
若b-a不为0，则
ab=ac-bc+c^2
=>(a+c)b=(a+c)c
显然
a+c
不是0
于是b=c
所以三角形一定是等腰三角形

Answer 3

很明显！等腰直角三角形。

Answer 4

等边三角形

追问

能写出过程吗？