Question

.已知直线y=x+m与函数y=根号下（1-x的平方）的图像有两个交点 则实数m的取值范围是 答案：[1，根号2﹚

问题1：为什么不能直接两边平方 再加上定义域1-x平方≥0 Δ＞0 但是这样解出来答案是﹙-根号2，根号2﹚ 为什么这样做是错的？为什么一定要通过画图来解？
问题2：已知M=﹛﹙x，y）| yΛ2=2x﹜ N=﹛（x，y）︳(X-a）Λ2+yΛ2=9﹜ 求M∩N≠空集的充要条件 答案：-3≤ a≤5
为什么不能直接联立yΛ2=2x和(X-a）Λ2+yΛ2=9 然后用Δ≥0 求解
这样解出来的答案扩大了范围 请问为什么
问题3：什么时候能将两个方程直接联立然后用判别式进行求解，什么时候不能？什么时候必须用图像去解决这样的问题？
问题4：会不会是因为两个方程的定义域不同而造成的呢 但如果是这样 那么为什么我们经常将椭圆与直线联立去判断他们的位置关系呢（但是实际上他们定义域也不同呀）
问题5：为什么双曲线与直线联立后 如果他们有两个交点用Δ＞0去解出来之后还要带回原方程去检验呢 这和前4个问题会不会有什么关系呢

Answer 1

1、y=√(1－x²)与y²=1－x²不等价的，前者是半个圆，后者是一个圆。
本题适合用数形结合来解决。2
2、在化简的过程中，你需要对方程进行平方，知道方程平方的危害吗？会产生增根，这就是原因。

追问

但是我限制了定义域呀 而且你对于下面的几个问题的看法呢 谢谢指教

追答

1、Δ>0只能保证方程有根，但未必能保证得到的x的值再代入时能使得y也满足。这个问题不是定义域要受到限制，而是值域要受到限制；

2、与上题一样，即使能达成，但你解决的是使得x能满足的实数a的取值范围，此时y也需要条件限制的；

3、可以告诉你的是：若题目中的要求是解什么什么方程、或者是方程的根，而对于这个方程，你无法解或者不会解，此时肯定是数形结合；

4、椭圆、双曲线与直线的位置关系一般都是解方程组来解决的，这是解析几何的最大本质【用代数的方法解决几何问题】，原因就是这两类曲线是对称的，若是半个椭圆的话，就不能解方程组了。

追问

你能告诉我问题2中 y需要什么条件限制呢 为什么半个椭圆就不能解方程组了呢 问题5中的现象又该怎样解释 是不是凡不是封闭的曲线都不能直接联立方程去解呢
希望您能回答具体一些 谢谢回答

追答

问题2、你解的时候肯定是消去x的，设y²=t，这样就得到关于t的一元二次方程，仅仅判别式大于0不够的，还需要这个关于t的方程至少有一个非负根。。
另外，y=√(1－x²)与y²=1－x²的定义域有有区别吗？？没有。
问题5、这个和曲线的封闭不封闭无关，和曲线的对称性有关。试想，若一条直线与整个椭圆有交点与一条直线与半个椭圆有交点，则这样的直线的肯定是有区别的。

这类问题就是函数与方程的本质区别，若是函数，则就是联立方程组，若是曲线【曲线未必是函数型的】，则利用方程组来解决有一定的局限性。

追问

您能用解方程的方法解问题1和问题2吗 请给出完整解答过程 为什么半个椭圆就不能解方程组了呢 问题5中的现象又该怎样解释 是不是凡不是封闭的曲线都不能直接联立方程去解呢
我真的很想知道原因 如果您给我这高三的学生将明白的话 我会由衷的感谢您 谢谢您的回答
还有您能告诉我您的QQ号吗 那样我就能经常问您题了

追答

1、解方程：y=x＋m
y²=1－x² ====>>>>> 消去x，得：
y²=1－(y－m)²
2y²－2my＋m²－1=0 ===>>> 则：①△>0；②y1＋y2>0；③y1y2>0

2、y²=2x
(x－a)²＋y²=9 ====>>> 消去y²，得：x²－2(a－1)x＋9=0 ===>>> ①△>0；②且此方程至少有一个非负根【即：若解出的x全是负的，则不行的】。