Question

三角形练习题

Answer 1

1、A，B，C为三角形内角，已知1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC，求角A
解：1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC
2cos²A-1-2cos²B+1+2sin²C=2sinBsinC
cos²A-cos²B+sin² (A+B)=sinBsinC
cos²A-cos²B+sin²Acos²B+2sinAcosAsinBcosB+cos²Asin²B=sinBsinC
cos²A-cos²Acos²B+2sinAcosAsinBcosB+cos²Asin²B=sinBsinC
2cos²AsinB+2sinAcosAcosB=sin(180-A-B)
2cosA(cosAsinB+sinAcosB)-sin(A+B)=0
Sin(A+B)(2cosA-1)=0
cosA=1/2
A=60
2、证明：(1+sinα+cosα+2sinαcosα)/(1+sinα+cosα)=sinα+cosα
<===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+(sina+cosa)²
<===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+1+2sinacosa
<===>0=0恒成立
以上各步可逆，原命题成立
证毕
3、在△ABC中,sinB*sinC=cos²(A/2),则△ABC的形状是?
sinBsin(180-A-B)=(1+cosA)/2
2sinBsin(A+B)=1+cosA
2sinB(sinAcosB+cosAsinB)=1+cosA
sin2BsinA+2cosAsin²B-cosA-1=0
sin2BsinA+cosA(2sin²B-1)=1
sin2BsinA-cosAcos2B=1
cos2BcosA-sin2BsinA=-1
cos(2B+A)=-1
因为A，B是三角形内角
2B+A=180
因为A+B+C=180
所以B=C
三角形ABC是等腰三角形
4、求函数y=2-cos(x/3)的最大值和最小值并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合
-1≤cos(x/3)≤1
-1≤-cos(x/3)≤1
1≤2-cos(x/3)≤3
值域[1,3]
当cos(x/3)=1时即x/3=2kπ即x=6kπ时，y有最小值1此时{x｜x=6kπ,k∈Z}
当cos(x/3)=-1时即x/3=2kπ+π即x=6kπ+3π时，y有最小值1此时{x｜x=6kπ+3π,k∈Z}
5、已知△ABC，若(2c-b)tanB=btanA，求角A
[(2c-b)/b]sinB/cosB=sinA/cosA
正弦定理c/sinC=b/sinB=2R代入
(2sinC-sinB)cosA=sinAcosB
2sin(A+B)cosA=sinAcosB+cosAsinB
2sin(A+B)cosA-sin(A+B)=0
sin(A+B)(2cosA-1)=0
sin(A+B)≠0
cosA=1/2
A=60度
6、已知2cosx=3cosy求证：3cosx-2cosy/2siny-3sinx=tan(x+y)
证明：3cosx-2cosy/2siny-3sinx=tan(x+y)
<==>(3cosx-2cosy)/(2siny-3sinx)=sin(x+y)/cos(x+y)
<==>(3cosx-2cosy)/(2siny-3sinx)=(sinxcosy+cosxsiny)/(cosxcosy-sinxsiny)
<==>3cos²xcosy-3cosxsinxsiny-2cosxcos²y+2sinxcosxsiny=2sinxsinycosy+2sin²ycosx-3sin²xcosy-3sinxcosxsiny
<==>3cos²xcosy+3sin²xcosy=2sin²ycosx+2cos²ycosx
<==>3cosy(sin²x+cos²x)=2cosx(sin²y+cos²y)
<==>3cosy=2cosx已知
所以以上各步可逆
原命题成立
需要hi我