Question

高一数学题。数列的。

Answer 1

(I)由a1=S1=-(a1+1)(a1+2)，解得a1=1或a1=2，
由假设a1=S1>1，因此a1=2，
又由an+1=Sn+1-Sn=-(an+1+1)(an+1+2)--(an+1)(an+2)，
得(an+1+an)(an+1-an-3)=0，
即an+1-an-3=0或an+1=-an，因an>0，故an+1=-an不成立，舍去。
因此an+1-an=3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，
故{an}的通项为an=3n-1。
(II)证明：用比较法。由an(--1)=1可解得
bn=log2(1+-)=log2-；
从而Tn=b1+b2+……+bn=log2(-·■……-)。
因此3Tn+1-log2(an+3)=log2(-·■……-)3·■。
令f(n)=(-·■……-)3·■，
则-=-·（-)3=-。
因(3n+3)3-(3n+5)(3n+2)2=9n+7>0，故f(n+1)>f(n)。