Question

已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x,y横有f(x)+f(y)=f(x+y),当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2/3

Answer 1

证明：令x=0
y=0则f（0+0）=f（0）²
即f（0）-f（0）²=0因为f（0）不等于0所以f（0）=1
又令y=-x
则有f（x-x）=f(x)×f（-x）即f（0）=f(x)×f（-x）
即1=f（x）×f（-x）
所以f（x）与f（-x）互为倒数
即f（x）=1/f（-x）因为当x>0时，f（x）>1所以当x小于0时0
0
又因为当x>0时，f（x）>1
所以f（x2-x1)>1所以1-f（x2-x1)<0
又因为对于任意f（x）
都大于0所以f(x1)-f(x2)=f（x1）-f[(x2-x1)+x1<0
所以f（x1）
0
y>0)
x属于r

Answer 2

1）令y=-x
则f(x)+f(-x)=f(0)
令x=y=0
则f(0)+f(0)=f(0)
所以f(0)=0
即f(x)+f(-x)=0
所以f(x)是奇函数
2）
设x1>x2
则x1-x2>0
则f(x1-x2)<0
f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)
=f(x1)-f(x2)<0
根据增、减函数的定义，
因为x1>x2,f(x1)

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