Question

设y=f(x)是R上的奇函数,若它的图像关于直线x=2对称,且当x属于[-2,0]时,f(x)=-x^2+1，求当x属于[-6，-2]时

设y=f(x)是R上的奇函数,若它的图像关于直线x=2对称,且当x属于[-2,0]时,f(x)=-x^2+1，求当x属于[-6，-2]时f（x）的表达式

Answer 1

当x∈(0，2]时，f(x)=-f(-x)
因为-x∈[-2，0)
所以f(x)=-[-(-x)²+1]=x²-1

根据对称性：f(x)=f[2-(x-2)]=f(4-x)
当x∈[2，4)时，4-x∈(0，2]
所以f(x)=(4-x)²-1=x²-8x+15
当x∈[4，6]时，4-x∈[-2，0]
所以f(x)=-(4-x)²+1=-x²+8x-15

根据奇函数性质：f(x)=-f(-x)
当x∈[-6，4]时，-x∈[4，6]
所以f(x)=-[-(-x)²+8(-x)-15]=x²+8x+15
(4-x)²+1=-x²+8x-15
当x∈(-4，-2]时，-x∈[2，4)
所以f(x)=-[(-x)²-8(-x)+15]=x²-8x-15