Question

在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．且a-cb-c=sinB...

在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．且a-cb-c=sinBsinA+sinC． （1）求角A的大小及角B的取值范围； （2）若a=√3，求b2+c2的取值范围．

Answer 1

解：（1）由a-cb-c=sinBsinA+sinC得a-cb-c=ba+c即b2+c2-a2=bc
得cosA=b2+c2-a22bc=12，A∈（0，π2）
故A=π3．
又∵△ABC是锐角三角形，∴π2＜B+A，即π2＜B+π3，得B＞π6
故π6＜B＜π2．
（2）由asinA=2R，得2R=√3sinπ3=2，∴b=2sinB，c=2sinC
∵B+C=2π3，∴C=2π3-B
∴b2+c2=4（sin2B+sin2C）=2（1-cos2B+1-cos2C）=4-2（cos2B+cos2C）=4-2[cos2B+cos(4π3-2B)]=4-2(12cos2B-√32sin2B)=4-2cos(2B+π3)
∵π6＜B＜π2，∴2π3＜2B+π3＜4π3
∴当2B+π3=π时，即B=π3时，b2+c2取得最大值6．
当2B+π3=4π3时，即B=π2时，b2+c2取得最小值5．
故所求b2+c2的取值范围是（5，6]．