Question

已知圆C：x^2+y^2+2x-4y+3=0.（1）若C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程。

（2）从c外一点P（x1,x2)向该圆引一条切线，切点为M,O为坐标原点，且有/PM/=/PQ/,求使得/PM/去的最小值的点P的坐标。

Answer 1

1.
令切线的方程为y=kx+c（k≠0）【存在x、y轴截距，故k≠0】，圆C的方程为（x+1）^2+(y-2)^2=2,圆心为（-1,2），半径为√2.
圆心到切线的距离为|-k-2+c|/√（k^2+1）=√2,即（k+2-c）^2/(k^2+1)=2 ①
切线在x、y轴上的截距分别为c，-c/k。|c|=|c/k|（k≠0）
⑴当c=0时，解方程①得，c=2+√3或2-√3，即切线为y=（2+√6）x或y=（2-√6）x；
⑵当c≠0时，k=1或-1，
a、当k=1时，解方程①得c=1或5，即切线为y=x+1或y=x+5；
b、当k=-1时，解方程①得c=-1或3，即切线为y=-x-1或y=-x+3；
综上切线方程为：y=（2+√6）x或y=（2-√6）x或y=x+1或y=x+5或y=-x-1或y=-x+3。
2.
圆C: x^2+y^2+2x-4y+3=0, (x+1)^2+(y-2)^2 =2
圆心Q(-1,2), 半径r^2 =2
|PO|^2 =|PM|^2 =|PQ|^2 -r^2
==> a^2+b^2 =[(a+1)^2+(b-2)^2] -2
点P的轨迹方程：2a-4b+3=0, 斜率=1/2
原点O(0,0)到该直线的垂线: 2x+y=0, 垂足(-3/10,3/5)
使PM取最小值的点P的坐标: (-3/10,3/5)

Answer 2

1。设切线为x+y=a，再与圆的方程联立消去y，得到一个关于x的方程，令其判别式=0，求出a即可！