Question

矩阵A可相似对角化,则相似变换矩阵p和矩阵A的特征向量有啥关系？

Answer 1

n阶方阵可进行对角化的充分必要条件是：
1.n阶方阵存在n个线性无关的特征向量
推论：如果这个n阶方阵有n个不同的特征值,那么矩阵必然存在相似矩阵
2.如果阶n方阵存在重复的特征值,每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重 复次数

现在从矩阵对角化的过程中,来说说这个条件是怎么来的.
在矩阵的特征问题中,特征向量有一个很好的性质,即Aa=λa.
假设一种特殊的情形,A有n个不同的特征值λi,即Aai=λi*ai.令矩阵P=[a1 a2 ... an]
这样以来AP=A*[a1 a2 ... an]=[A*a1 A*a2 ... A*an]=[λ1*a1 λ2*a2 ... λn*an]=P*B,其中B是对角阵.
B＝
λ1 0 0 ...
0 λ2 0 ...
... ... ... ...
0 0 0 λn
由于不同特征值对应的特征向量是线性无关的,那么P是可逆矩阵,将上面等式换一种描述就是
A＝P*B*P-1 ,这也就是A相似与对角阵B定义了.

在这个过程中,A要能对角化有两点很重要：
P是怎么构成的?P由n个线性无关的向量组成,并且向量来自A的特征向量空间.
P要满足可逆.什么情况下P可逆?
矩阵可对角化的条件,其实就是在问什么情况下P可逆?
如果A由n个不同的特征值,1个特征值－对应1个特征向量,那么就很容易找到n个线性无关的特征向量,让他们组成P；
但是如果A有某个λ是个重根呢?比如λ＝3,是个3重根.我们 知道对应的特征方程(3I－A)x＝0不一定有3个线性无关的解.如果λ＝3找不到3个线性无关的解,那么A就不能对角化了,这是因为能让A对角化的P矩阵不存在.