Question

小学奥数题：正方形边长是4，求图中阴影部分面积。

Answer 1

在
平面直角坐标系
中,设⊙A:(x-4/2)²+y²=(4/2)²,x²-4x+y²=0.⊙B:x²+(4-y)²=4²,x²+y²-8y=0.
⊙A与⊙B交于点O、C.x=2y,0=x²+y²-8y=(2y)²+y²-8y=y(5y-8).yO=0,yC=8/5.xO=0,xC=16/5.
设∠OAC=α,A(2,0),tanα=tan∠OAC=(8/5)/(2-16/5)=-4/3,α=π-arctan(4/3).
设∠OBC=β,B(0,4),tanβ=tan∠OBC=(16/5)/(4-8/5)=4/3,β=arctan(4/3).
S阴影=(S扇形OAC-S⊿OAC)+(S扇形OBC-S⊿OBC)
=[π×(4/2)²×α/(2π)-4/2×8/5÷2]+[π×4²×β/(2π)-4×16/5÷2]=2α-8/5+8β-32/5
=2[π-arctan(4/3)]+8arctan(4/3)-8=2π+6arctan(4/3)-8≈3.847.(此题无高二基础是做不出的)