已知f（Inx）=In(1+x) / x ,求∫f(x)dx.
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简单分析一下，详情如图所示
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f（Inx）=In(1+x) / x
令
lnx=t
x=e^t
f(t)=ln(1+e^t)/e^t
所以
f(x)=ln(1+e^x)/e^x
∫f(x)dx=∫ln(1+e^x)/e^xdx
=∫ln(1+e^x)de^(-x)
=e^(-x)ln(1+e^x)-∫e^(-x)*e^x/(1+e^x)dx
=e^(-x)ln(1+e^x)-∫1/[e^x*(1+e^x)]de^x
=e^(-x)ln(1+e^x)-∫[1/e^(x)-1/(1+e^x)]de^x
=e^(-x)ln(1+e^x)-lne^x+ln(1+e^x)+c
=e^(-x)ln(1+e^x)-x+ln(1+e^x)+c
令
lnx=t
x=e^t
f(t)=ln(1+e^t)/e^t
所以
f(x)=ln(1+e^x)/e^x
∫f(x)dx=∫ln(1+e^x)/e^xdx
=∫ln(1+e^x)de^(-x)
=e^(-x)ln(1+e^x)-∫e^(-x)*e^x/(1+e^x)dx
=e^(-x)ln(1+e^x)-∫1/[e^x*(1+e^x)]de^x
=e^(-x)ln(1+e^x)-∫[1/e^(x)-1/(1+e^x)]de^x
=e^(-x)ln(1+e^x)-lne^x+ln(1+e^x)+c
=e^(-x)ln(1+e^x)-x+ln(1+e^x)+c
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