Question

这几道定积分证明题麻烦高手解答并分析一下思路

Answer 1

14、由于1/(1+x^p)<1
∫[0→1]
1/(1+x^p)
dx<∫[0→1]
1
dx=1
另一方面:
∫[0→1]
1/(1+x^p)
dx
=∫[0→1]
(1+x^p-x^p)/(1+x^p)
dx
=∫[0→1]
[1-x^p/(1+x^p)]
dx
=1
-
∫[0→1]
x^p/(1+x^p)
dx
>1
-
∫[0→1]
x^p
dx
=1
-
[1/(p+1)]x^(p+1)
|[0→1]
=1
-
1/(p+1)
=p/(p+1)
因此:p/(p+1)
<
∫[0→1]
1/(1+x^p)
dx
<
1
15、16、17其实差不多的，都是许瓦兹不等式证明，15、16两边平方后就是许瓦兹不等式，17就是许瓦兹不等式。
下面证明许瓦兹不等式:
∫[a→b]
f²(x)dx∫[a→b]
g²(x)dx≥[∫[a→b]
f(x)g(x)dx]²
证明:构造函数h(t)=t²∫[a→b]
f²(x)dx
+
2t∫[a→b]
f(x)g(x)dx
+
∫[a→b]
g²(x)dx
由于定积分是一个常数，因此这个函数是一个二次函数
h(t)=∫[a→b]
[t²f²(x)+2tfx)g(x)+g²(x)]
dx
注意到被积函数是完全平方
=∫[a→b]
[tf(x)+g(x)]²
dx
≥0
由于二次函数h(t)≥0，可得其判别式Δ≤0
即:4t²[∫[a→b]
f(x)g(x)dx]²
-
4∫[a→b]
f²(x)dx∫[a→b]
g²(x)dx
≤
0
上式整理后即为所得。
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