Question

把一张矩形纸片abcd按如图方式折叠,使得点b落在边ad上,点a落在点a’处,折线分

把一张矩形纸片ABC的按如图方式折叠，使顶点B落在边AD上（记为点B′），点A落在点A′处，折痕分别与边AD、BC交于点E、F． （1）试在图中连接BE，求证：四边形BFB′E是菱形； （2）若AB=8，BC=16，求线段BF长能取到的整数．

Answer 1

（1）证明：连接BB′，如图1所示： 由折叠知点B、B′关于EF对称， ∴EF是线段BB′的垂直平分线， ∴BE=B′E，BF=B′F， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠B′EF=∠BFE， 由折叠得：∠B′FE=∠BFE， ∴∠B′EF=∠B′FE， ∴B′E=B′F， ∴BE=B′E=B′F=BF， ∴四边形BFB′E是菱形； （2） 如图2所示：当点E与点A重合时，四边形ABFB′是正方形，此时BF最小， ∵四边形ABFB′是正方形， ∴BF=AB=8，即BF最小为8； 如图2所示：当点B与点D重合时，BF最大， 设BF=x，则CF=16-x，DF=BF=x， 在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF 2 +CD 2 =DF 2 ， ∴（16-x） 2 +8 2 =x 2 ， 解得：x=10，即BF=10， ∴8≤BF≤10， ∴线段BF长能取到的整数值为8，9，10．