Question

设n阶矩阵A与矩阵B相似,证明A与B有相同的特征多样式

求解，谢谢

Answer 1

证: 由已知,存在可逆矩阵P, 满足 P^-1AP = B
所以 |B-λE| = |P^-1AP-λE|
=|P^-1(A-λE)P|
=|P^-1||A-λE||P|
=|A-λE|
即A与B有相同的特征多项式

Answer 2

证明：
A、B相似，则存在可逆矩阵T，使得
A=T^{-1}BT
从而
det(A-λE)
=det(T^{-1}BT-λE)
=det(T^{-1}BT-λT^{-1}T)
=det(T^{-1}(B-λE)T)
=det(B-λE)
因此A、B有相同特征值，所以有相同特征多项式

追问

请问“^”这个是什么，在试卷上也是这么写嘛？

追答

我是想写T逆，在这里没法实现上标，只好用TEX语言了，试卷上该怎么写就怎么写