Question

函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为f(x)=2x-1．（1...

函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为f(x)=2x-1． （1）求f（-1）的值； （2）求当x＜0时，函数的解析式； （3）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数．

Answer 1

解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（-1）=-f（1）=-（2-1）=-1；
（2）设x＜0，则-x＞0，所以f(-x)=2-x-1，
又f（x）为奇函数，所以上式即-f(x)=2-x-1，
所以f（x）=2x+1；
（3）设x1，x2是（0，+∞）上的两个任意实数，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=(2x1-1)-(2x 2-1)=2（x2-x1x1x2）．
因为x2-x1＞0，x1x2＞0，所以2（x2-x1x1x2）＞0，则f（x1）＞f（x2）
因此f(x)=2x-1．是（0，+∞）上的减函数．