Question

对于函数f(x),若存在区间M=[a,b],使得{y|y=f(x),x∈M}=M...

对于函数f(x),若存在区间M=[a,b],使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的-个“好区间”.给出下列4个函数: ①f(x)=sinx; ②f(x)=|2x-1|; ③f(x)=x3-3x; ④f(x)=lgx+l. 其中存在“好区间”的函数是______. (填入相应函数的序号)

Answer 1

①函数f(x)=sinx在[-
π
2
,
π
2
]上是单调增函数,若函数在[-
π
2
,
π
2
]上存在“好区间”[a,b],
则必有sina=a,sinb=b.
即方程sinx=x有两个根,令g(x)=sinx-x,g′(x)=cosx-1≤0在[-
π
2
,
π
2
]上恒成立,
所以函数g(x)在[-
π
2
,
π
2
]上为减函数,则函数g(x)=sinx-x在[-
π
2
,
π
2
]上至多有一个零点,
即方程sinx=x在[-
π
2
,
π
2
]上不可能有两个解,又因为f(x)的值域为[-1,1],所以当x
π
2
时,
方程sinx=x无解.
所以函数f(x)=sinx没有“好区间”;
②对于函数f(x)=|2x-1|,该函数在[0,+∞)上是增函数,由幂函数的性质我们易得,M=[0,1]时,
f(x)∈[0,1]=M,所以M=[0,1]为函数f(x)=|2x-1|的一个“好区间”;
③对于函数f(x)=x3-3x,f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).
当x∈(-1,1)时,f′(x)0.
所以函数f(x)=x3-3x的增区间是(-∞,-1),(1,+∞),减区间是(-1,1).
取M=[-2,2],此时f(-2)=-2,f(-1)=2,f(1)=-2,f(2)=2.
所以函数f(x)=x3-3x在M=[-2,2]上的值域也为[-2,2],则M=[-2,2]为函数的一个“好区间”;
④函数f(x)=lgx+1在定义域(0,+∞)上为增函数,若有“好区间”
则lga+1=a,lgb+1=b,也就是函数g(x)=lgx-x+1有两个零点.
显然x=1是函数的一个零点,
由g′(x)=
1
xln10
-1
1
ln10
,函数g(x)在(
1
ln10
,+∞)上为减函数;
g′(x)=
1
xln10
>0,得xg(1)=0,
则该函数g(x)在(0,
1
ln10
)上还有一个零点.
所以函数f(x)=lgx+1存在“好区间”.
故答案为②③④.