Question

求微分方程y''=1+y'²的通解

Answer 1

用降阶法：
设y'=p
y''=dp/dx=dp/dy.dy/dx=y'dp/dy=pdp/dy
pdp/dy=1+p²
pdp/（1+p²）=dy
（1/2）d（1+p²）/（1+p²）=dy
（1/2）ln（1+p²）=y+C1
ln（1+p²）=2y+2C1
1+p²=C2e^(2y)
p²=C2e^(2y)-1
p=±√[C2e^(2y)-1]
dy/√[C2e^(2y)-1]=±dx
设e^y=t,y=lnt,dy=dt/t
代入：
dt/t（C2t²-1）=±dx
dt/t（t²-1/C2）=±C2dx
1/t（t²-1/C2）=a/t+b/（t+1/√C2）+c/（t-1/√C2）
=[a(t²-1/C2）+bt（t-1/√C2）+ct（t+1/√C2）]/t（t²-1/C2）
=[(a+b+c)t²+（c/√C2-b/√C2）t-a/C2]/t（t²-1/C2）
a+b+c=0
b=c
-a/C2=1
a=-C2
b+c=C2
b=c=C2/2
1/t（t²-1/C2）=-C2/t+(C2/2)/（t+1/√C2）+(C2/2)/（t-1/√C2）
[-C2/t+(C2/2)/（t+1/√C2）+(C2/2)/（t-1/√C2）]dt=±C2dx
[-1/t+(1/2)/（t+1/√C2）+(1/2)/（t-1/√C2）]dt=±dx
两边积分：
-lnt+（1/2）ln（t+1/√C2）+（1/2）ln（t-1/√C2）=±x+C3
-lnt+（1/2）ln（t²-1/C2）=±x+C3
ln[√（t²-1/C2）/t]=±x+C3
√（t²-1/C2）/t=C4e^(±x)
√（t²-1/C2）=C4te^(±x)
t²-1/C2=C4²t²e^(±2x)
t²（1-C4²e^(±2x)）=1/C2
t²=1/C2（1-C4²e^(±2x)）
e^(2y)=1/C2（1-C4²e^(±2x)）
2y=-ln[C2（1-C4²e^(±2x)）]
y=-(1/2)ln[C2（1-C4²e^(±2x)）]
=-(1/2)[lnC2+ln（1-C4²e^(±2x)）]
y=D1-(1/2)ln（1-D2e^(±2x)）
其中D1、D2是常数。