Question

不等式的解法已知abc均为正数 且a+b+c=1 求证：1/a+1/b+1/c>=9

Answer 1

不知道你学过柯西不等式没
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=(a*(1/a)+b*(1/b)+c*(1/c))^2=3^2=9

追问

高一 好像还没学到 看不懂诶

追答

嗯，这个不等式是竞赛才会用到的，那你可以用楼上的解法，我补充一下好了
3+b/a+a/b+b/c+c/b+a/c+c/a
>=3+2sqrt((b/a)*(a/b))+2sqrt((b/c)*(c/b))+2sqrt((a/c)*(c/a))
=3+2+2+2=9
这里用的是平均不等式，算术平均大于或等于几何平均

Answer 2

因为a>0,b>0,c>0
所以1/a+1/b+1/c
=(1/a+1/b+1/c)(a+b+c)
=3+b/a+a/b+b/c+c/b+a/c+c/a
>=9

追问

可不可以 再详细点 我不是很懂

追答

所以1/a+1/b+1/c
=(1/a+1/b+1/c)(a+b+c)
=3+b/a+a/b+b/c+c/b+a/c+c/a
=3+(b/a+a/b)+(b/c+c/b)+(a/c+c/a)
>=3+2+2+2=9
每个括号里的>=2
可以了么？