Question

不定积分递推式

tan^n （x），求详解

Answer 1

可用降幂公式和分部积分法进行求解，解答过程如下：
∫tan^nxdx=∫tan^（n-2)x·(sec²x-1)dx
=∫tan^（n-2)x·sec²xdx-∫tan^（n-2)xdx
=∫tan^（n-2)x·dtanx-∫tan^（n-2)xdx
=[tan^(n-1)x]/(n-1)-∫tan^（n-2)xdx
扩展资料
1、三角恒等变形。
数学的一类公式，用于三角函数等价代换，可以化简式子，方便运算。基本可以从三角函数图像中推出诱导公式，也能从诱导公式中延展出其他的公式，其中包括倍角公式，和差化积，万能公式等。
tan²x经过三角恒等变形后可以转化为sec²x－1，过程如下：
tan²α=sin²α/cos²α
=[½(1-cos2α)]/[½(1+cos2α)]
=(1-cos2α)/(1+cos2α)
=sec²x－1
2、分部积分法
微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。
常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。
分部积分公式如下：
∫
u'v
dx
=
uv
-
∫
uv'
dx。
进行分部积分：
(uv)'=u'v+uv'
得：u'v=(uv)'-uv'
两边积分得：∫
u'v
dx=∫
(uv)'
dx
-
∫
uv'
dx
即：∫
u'v
dx
=
uv
-
∫
uv'
dx，这就是分部积分公式
也可简写为：∫
v
du
=
uv
-
∫
u
dv
参考资料来源：
百度百科-三角恒等变形
百度百科-分部积分法