Question

高数：微分方程通解yy"+1=y'的平方，答案令y'=p，y"=pdp/p只讨论/p/>1，/p/<1情况，可p=0和/p/=1也应该...

高数：微分方程通解yy"+1=y'的平方，答案令y'=p，y"=pdp/p只讨论/p/>1，/p/<1情况，可p=0和/p/=1也应该讨论啊

Answer 1

P=0,，即y'=0，则y"=0，代入原方程，显然不成立；
P=1或-1，即y'=1或-1，则y"=0，代入原方程，显然成立，
故y=x+C或y=-x+C也是原方程的解，其中C为任意常数。

Answer 2

y''=(y')平方+1是可降阶的微分方程
令p=y' ==> y''=dp/dx，方程成为p'=1+p^2
==> dp/(1+p^2)=dx ==> arctan(p)=x+c1 ==> p=tan(x+c1)，即
y'=tan(x+c1) ==> y=∫tan(x+c1)dx=-ln[cos(x+c1)]+c2