Question

1+y'^2=yy''求微分方程通解

Answer 1

令p=y'

则y"=pdp/dy

代入方程得：

ypdp/dy-p²-1=0

ypdp/dy=p²+1

pdp/(p²+1)=dy/y

d(p²)/(p²+1)=2dy/y

积分： ln(p²+1)=2ln|y|+2lnC

得：p²+1=(Cy)²,

即y'=√[(Cy)²-1]

d(Cy)/√[(Cy)²-1]=Cdx

积分： ln[Cy+√((Cy)²-1)]=Cx+C1

发展：

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。

物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

Answer 2

参考一下

Answer 3

解：
yy'=1+y²
yy'/(1+y^2)=1
两边积分：
(1/2)ln(1+y^2)=C

Answer 4

令y'=p