Question

证明π³是无理数？

Answer 1

若pi的立方是有理数，则pi立方-1是有理数，(pi-1)(pi平方+pi+1)是有理数，若pi平方+pi+1是有理数，因为pi-1是无理数，所以结果是无理数，矛盾；若pi平方+pi+1是无理数，则只有当q(pi-1)=pi平方+pi+1时(q为有理数)，pi的立方才是有理数。而q=(pi平方+pi+1)/(pi-1)=(pi^3-1)/(pi-1)^2, 因为pi^3-1设为有理数，所以(pi-1)^2必须是有理数。则(pi-1)^2-1也是有理数，pi(pi-2)是由理数时，仅当q'pi=pi-2（q'为有理数）时成立。而q'=1-2/pi是无理数，所以(pi-1)^2是无理数，从而q也是无理数，所以pi的立方只能是无理数。

Answer 2

无理数乘以无理数还是无理数。

追问

√2乘以√2是无理数吗？