Question

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是CC1，B1C1，C1D1的中点，求证：1、AP垂直MN；2、平面MNP//平面

Answer 1

用向量做。
以D点为坐标原点，DA为X轴，DC为Y轴，DD1为Z轴建立直角坐标系。设正方体棱长为1.
(1)
A(1,0,0) D(0,0,0) D1(0,0,1) P(0,1/2,1) M(0,1,1/2) N(1/2,1,1)
向量D1N=N-D1=(1/2,1,1)-(0,0,1)=(1/2,1,0)
向量D1M=M-D1=(0,1,1/2)-(0,0,1)=(0,1,-1/2)
向量AP=P-A=(0,1/2,1)-(1,0,0)=(-1,1/2,1)
AP(->)*D1N(->)=-1/2+1/2=0
AP(->)⊥D1N(->)
AP(->)*D1M(->)=1/2-1/2=0
AP(->)⊥D1M(->)
D1N交D1M于点D1
AP⊥面D1MN

(2)
过点C1作C1Q垂直MN交MN于点Q，连接D1Q
根据对称性，角C1D1Q即为D1C1与面D1MN所成的角a
tana=CQ/D1C1
CQ=1/2*√2/2=√2/4
D1C1=1
tana=√2/4

不用向量作要作辅助线，而且也要计算，很麻烦。

取CN中点H，连接PH，并延长HP与A1D1的延长线交于点Q，连接AQ，AH。
易得：
PH=PQ
D1N//QH
令正方体棱长为1.
AH^2=1+(3/4)^2+1=41/16
AQ^2=1+(1+1/4)^2=41/16
AH=AQ
在等腰三角形AHQ中
PQ=PH
AP⊥QH
AP⊥D1N
同样的方法可得：
AP⊥D1M
所以AP⊥面D1MN

Answer 2

连接BC1，MN//B1C，故BC1垂直于MN，又AB垂直于面BC1，故AB垂直于MN，所以MN垂直于面ABC1P，即AP垂直MN
？？？？？？？？？