Question

已知函数f(x)=ax-lnx,a为常数且a>0. (1)如果f(x)在x>1上单调递增,求实数a的取值范围；

（2）求f(x)在x>=1上的最小值

Answer 1

(1)求导数
y=ax-lnx那么y‘=a-1/x
根据题意y’=a-1/x在x>1上是恒大于等于0的
a-1/x是关于x递增的
所以其最小值在x=1处为a-1
那么满足a-1≥0就可以满足a-1/x在x>1上恒大于等于0
所以a≥1
(2)定义域规定x>0的
关于y=a-1/x≥0可以解得x≥1/a
也就是说f(x)=ax-lnx在[1/a，+∞)上递增
在(0，1/a)上递减，且在x=1/a处取得最小值
要求f(x)在x>=1上的最小值需要分情况
情况1：1/a>1 即0<a<1的时候
最小值在1/a处取得，为f(1/a)=1-ln(1/a)=1+lna
情况2：1/a≤1即a≥1的时候
最小值在1处取得，为f(1)=a

Answer 2

1) f'(x)=a-1/x>0---> x>1/a
在x>1上单调递增, 所以有：0<1/a<=1---> a>=1

2). x>1/a时，f'(x)>0
0<x<1/a, f'(x)<0
f(1/a)=1-ln(1/a)=lna为最小值。
所以，
如果a<=1, 则最小值为f(1/a)=lna
如果a>1，则由递增性，知最小值为f(1)=a