已知函数f（x）=ax2-2x+lnx，a为常数，且a∈R．（1）当a=2时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程
已知函数f（x）=ax2-2x+lnx，a为常数，且a∈R．（1）当a=2时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在定义域上有两个不同的极值...
已知函数f（x）=ax2-2x+lnx，a为常数，且a∈R．（1）当a=2时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在定义域上有两个不同的极值点，求常数a的取值范围，并求函数f（x）的单调区间．
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（1）∵a=2时，f（x）=2x2-2x+lnx，
∴f′（x）=4x-2+
，
∴f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=3，
又f（1）=0，
∴切线方程为y-0=3（x-1），
即3x-y-3=0；
（2）∵f（x）=ax2-2x+lnx，定义域是（0，+∞），
∴f′（x）=2ax-2+
=
；
∵f（x）在（0，+∞）上有两个不同的极值点，
即2ax2-2x+1=0在（0，+∞）上有两个不同的实数根，
∴
，解得0＜a＜
；
∴a的取值范围是{a|0＜a＜
}；
又∵f′（x）=
；
令f′（x）=0，得2ax2-2x+1=0；
∵0＜a＜
，
∴解得x1=
，x2=
；
∴当0＜x＜
∴f′（x）=4x-2+
| 1 |
| x |
∴f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=3，
又f（1）=0，
∴切线方程为y-0=3（x-1），
即3x-y-3=0；
（2）∵f（x）=ax2-2x+lnx，定义域是（0，+∞），
∴f′（x）=2ax-2+
| 1 |
| x |
| 2ax2?2x+1 |
| x |
∵f（x）在（0，+∞）上有两个不同的极值点，
即2ax2-2x+1=0在（0，+∞）上有两个不同的实数根，
∴
|
| 1 |
| 2 |
∴a的取值范围是{a|0＜a＜
| 1 |
| 2 |
又∵f′（x）=
| 2ax2?2x+1 |
| x |
令f′（x）=0，得2ax2-2x+1=0；
∵0＜a＜
| 1 |
| 2 |
∴解得x1=
1?
| ||
| 2a |
1+
| ||
| 2a |
∴当0＜x＜
1?
|
