Question

已知函数f(x)=(x+a)\(x^2+b)是定义在R上的奇函数,其值域为[-1\4,1\4]

(1)试求a，b的值
(2)函数y=g(x)(x属于R)满足（1）当x属于[0,3)时，g(x)=f(x)；(2)g(x+3)=g(x)lnm (m不等于1）
求函数g(x)在x属于[3,9)上的解析式。
若g(x)在x属于[0,正无穷）上的值域是闭区间，试探求m的取值范围，并说明理由

Answer 1

解：
f(x)=-f(-x)
(x+a)\(x^2+b)=(x-a)\(x^2+b)
a =0
另y = f(x)
yx^2+yb-x=0
△≥0
y^2≤1/4b
而y∈[-1/4,1/4]
b=1/4
(2)
∵g(x+3)=g(x)lnm
∴g(x)=g(x-3)lnm
当x∈[0,3)时,g(x)=f(x)=x/(x^2+1/4)
令x属于[3,6)，x-3∈[3,6)
g(x)=g(x-3)lnm=f(x-3)lnm
=(x-3)/[(x-3)^2+1/4]lnm
令x属于[6,9)，x-3∈[3,6)
g(x)=g(x-3)lnm=
(x-3)/[(x-6)^2+1/4]lnm
所以：
g(x)=
(x-3)/[(x-3)^2+1/4]lnm x∈[3,6)
(x-6)/[(x-6)^2+1/4]lnm x∈[6,9)
根据以上可知，当x属于[0,正无穷）
g(x)的函数可以表示成：
g(x)=
(x-n)/[(x-n)^2+1/4]lnm 其中n为常数，当x属于[0,3)时，m=e
令y=g(x),则：
y[(x-n)^2+1/4]lnm = x-n
yx^2+yn^2-2nxy+y/4-xlnm+nlnm=0
△≥0
(2ny+lnm)^2 -4y(yn^2+y/4+nlnm)≥0
y^2≥(lnm)^2
因为y的取值为闭区间，
∴lnm ≠ 0 ，m ≠ 1
即m∈(0,1)U(1,正无穷)