Question

关于多元函数极值与最值的理解问题

我们知道
对二元函数：在唯一驻点处取极值不一定是最值
如：Z=f(x,y)=x^3-4x^2+2xy-y^2在 -6≤x≤6 -1≤y≤1上
f(0,0)=0是极大值 当然（0,0）&（2,2）都是驻点，但（2,2）不在定义域内
所以是唯一驻点，但显然不是最值点
因为举个例子f(5,0)=25就＞ f(0,0)

但是另一个例子中：
求曲线y=x^2 与直线x-y=2之间的最短距离
过程就不赘述了 最后求得 （1/2,1/4）为驻点

下面就不明白了：答案中说
这个问题本身有最小值，且函数只有一个驻点，所以驻点的函数值必为最小值

我不明白 为什么二元函数中有时候极值是最小值，而有时候不是
这个“度”怎么理解

多谢了 。。

Answer 1

1. 原则上，求出所有驻点，不可导的点，以及边界点，比较各点处的函数值，
最大的和最小的选出来，即可。
2. 求曲线y=x^2 与直线x-y=2之间的最短距离……
如果你化成一元函数的无条件极值，可以判断这是唯一的极值，且是个极小值，故该点处取得最小值。
如果你使用Lagrange条件极值的方法，判断这是唯一的一个条件极值点，问题本身有最小值，故在该点取得最小值。（ 因为在无穷远处，距离是无穷大。）
这时需要问题的实际背景，的确不是太严密，因为我们通常并不考虑它是条件极大或极小。

Answer 2

驻点必为极值点，但不一定是最值，是否为最值，要通过函数的单调性确定，比如第二个例子，求距离 设Z=X^2-(X-2) 显然这个函数有最小值，而第一个例子中的函数则没有。你可以多看看书，书本上肯定有解释。

Answer 3

要用驻点处的高阶导数判断曲面的走向，判定是否是极值点。
具体规则去找找微积分课本吧。