Question

若实数x,y满足x^2+4y^2=4x,则s=x^2+y^2的取值范围

求确切的答案，详细的过程

Answer 1

由4y^2=4x-x^2≥0得:0≤x≤4
s=x^2+y^2=x^2+(4x-x^2)/4=(3/4)x^2+x=(3/4)[(x+2/3)^2-1/3 (0≤x≤4)
对称轴是:x=-2/3，开口向上
所以函数s=(3/4)[(x+2/3)^2-1/3 (0≤x≤4)为增函数
于是求得s=x^2+y^2的取值范围：[0，16]

Answer 2

（x-2)^2+4y^2=4
设x=2+2cosa y=sina
s=x^2+y^2=4+8cosa+4(cosa)^2+(sina)^2
=3(cosa)^2+8cosa+5
=3(cosa+4/3)^2-1/3
cosa=-1时 S最小为0
cosa=1时 s最大为16
s的取值范围为[0，16]

Answer 3

解：x^2+4y^2=4x
则：x^2-4x+4y^2=0
(x^2-4x+4)+4y^2=4
(x-2)^2+4y^2=4
(1/4)(x-2)^2+y^2=1
则设x=2+2cosa,y=sina
(a属于R)
则
S=x^2+y^2
=(2+2cosa)^2+(sina)^2
=4+4cos^2(a)+8cosa+sin^2(a)
=3cos^2(a)+8cosa+5
设t=cosa,（t属于[-1,1]）
则S=3t^2+8t+5
对称轴为t=-4/3,
区间[-1,1]在对称轴右侧
故S属于[0,16]