Question

已知抛物线x^2=4y与圆x^2+y^2=32相交于A,B两点，圆与y轴正半轴相交于C点，直线l是圆的切线，交抛物线于M,N

并且切点在弧ACB上。
（1）求ABC三点坐标
(2)当M,N两点到抛物线焦点距离的和最大时，求直线L的方程

Answer 1

（1）ABC三点坐标A﹙－4,4﹚B﹙4,4﹚C ﹙0，4√2﹚
⑵设切点为P﹙a,b﹚﹙b＞0﹚,则a^2+b^2=32,切线方程为ax＋by＝32,代入抛物线x^2=4y得到
b²y²－﹙64b＋4a²﹚y＋32²＝0,设M﹙x1,y1﹚,N﹙x2,y2﹚,∴y1＋y2＝﹙64b＋4a²﹚／b²
以抛物线定义：|MF|＝y1＋1,|NF|＝y2＋1,∴|MF|＋|NF|＝y1＋y2＋2
＝﹙64b＋4a²﹚／b²＋2＝﹙64b＋128－4b²﹚／b²＋2＝128／b²＋64／b－2
＝128﹙1／b＋1／2﹚²－10,∵4≤b≤4√2,∴﹙|MF|＋|NF|﹚最大时,b＝4，a＝±4,
切线方程为±4x＋4y＝32,所以切线方程为x－y＋8＝0，或者x＋y－8＝0。