Question

如图已知抛物线C:y^2=2px和圆M:(x-4)^2+y^2=1,过抛物线上一点H(x,y)(y≥1)作两条直线与圆M相切与A,B两点

如图，已知抛物线C：y2=2px和⊙M：（x-4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x0，y0）（y0≥1）作两条直线与⊙M相切于A、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为17/4
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；
（Ⅲ）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．

Answer 1

（I）M（4,0）到抛物线y^=2px的准线的距离为17/4，
∴准线为x=-1/4,p=1/2,
抛物线C的方程为y^=x.①
(II)∠AHB的平分线HM⊥x轴时H为(4,土2），
H为(4,2)时，设HA(HB)的方程为y-2=k(x-4),即kx-y+2-4k=0,
M到HA的距离=2/√(k^+1)=1,
∴k^=3,k=土√3，
把y=√3x+2-4√3②代入①，
3x^+(4√3-25）x+52-16√3=0，
xH=4,xE=(13-4√3）/3，
代入②，yE=(√3-6)/3,
同法得xF=(13+4√3）/3,yF=(-√3-6)/3,
∴EF的斜率=（2/√3）/（-8/√3）=-1/4，
同法得H为(4,-2)时，EF的斜率=1/4.
(III)设A(x1,y1)，B(x2,y2)在圆(x-4)^+y^=1上，则切线HA,HB为
(xi-4)(x-4)+yi*y=1,i=1,2,
它们过H(x0,y0),
∴（x0-4)(xi-4)+y0yi=1,
∴AB的方程是(x0-4)(x-4)+y0y=1,
它在y轴上的截距t=[1+4(x0-4)]/y0=[4y0^-15]/y0=4y0-15/y0,↑,y0>=1,
∴t的最小值=t(1)=-11.

Answer 2

解：（Ⅰ）∵点M到抛物线准线的距离为4+p2=174，
∴p=
12，∴抛物线C的方程为y2=x．（2分）
（Ⅱ）法一：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴kHE=-kHF，
设E（x1，y1），F（x2，y2），∴yH-y1xH-x1=-
yH-y2xH-x2，∴yH-y1y2H-
y21=-
yH-y2y2H-
y22，
∴y1+y2=-2yH=-4．（5分）
∴kEF=
y2-y1x2-x1=
y2-y1y22-
y21=
1y2+y1=-
14．（7分）
法二：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴∠AHB=60°，可得kHA=
3，kHB=-
3，
∴直线HA的方程为y=
3x-4
3+2，
联立方程组y=
3x-4
3+2y2=x​，得3y2-y-4
3+2=0，
∵yE+2=
33
∴yE=
3-63，xE=
13-4
33．（5分）
同理可得yF=
-
3-63，xF=
13+4
33，∴kEF=-
14．（7分）
（Ⅲ）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵kMA=
y1x1-4，∴kHA=
4-x1y1，
∴直线HA的方程为（4-x1）x-y1y+4x1-15=0，
同理，直线HB的方程为（4-x2）x-y2y+4x2-15=0，
∴(4-x1)y02-y1y0+4x1-15=0，(4-x2)y02-y2y0+4x2-15=0，（9分）
∴直线AB的方程为(4-x)y02-yy0+4x-15=0，
令x=0，可得t=4y0-
15y0(y0≥1)，
∵t′=4+
15y20＞0，∴t关于y0的函数在[1，+∞）上单调递增，
∴当y0=1时，tmin=-11．（12分）
法二：设点H（m2，m）（m≥1），HM2=m4-7m2+16，HA2=m4-7m2+15．
以H为圆心，HA为半径的圆方程为（x-m2）2+（y-m）2=m4-7m2+15，①
⊙M方程：（x-4）2+y2=1．②
①-②得：直线AB的方程为（2x-m2-4）（4-m2）-（2y-m）m=m4-7m2+14．（9分）
当x=0时，直线AB在y轴上的截距t=4m-
15m（m≥1），
∵t′=4+
15m2＞0，∴t关于m的函数在[1，+∞）上单调递增，
∴当m=1时，tmin=-11．（12分）