Question

设f(x)是定义域在R上以2为周期的函数，对于k∈Z用IK表示区间（2k-1,2k+1],当x∈I（0）

设f(x)是定义域在R上以2为周期的函数，对于k∈Z用IK表示区间（2k-1,2k+1],当x∈I（0）时f（x）=根号下1-x²
1.求f（x）在Ik上的解析式
2.若对于正整数k,f(x)=ax在Ik上有两个不相等的实数根，求a的取值范围
（Ik中K为下标，I0中零为下标）

Answer 1

(1)f(x)是定义域在R上以2为周期的函数

因为f(x)=√(1-x²)   x∈I（0）=(-1，1】

区间差=1-（-1）=2  恰好为1个周期

所以对于在k∈Z用IK表示区间（2k-1,2k+1]内

（2k-1,2k+1]与(-1，1】相差2k周期

所以可的f(x)=√(1-(x-2k)²)

(2)分别作出IK的周期图像和ax图像，如图所示

k为正整数  所以x≥2*1-1=1

因为f(x)=ax在Ik上有两个不相等的实数根

所以根据图像ax在a1x和a2x之间

即a1＜a＜a2

第一个区间为（1,3】

此时方程f(x)=√(1-(x-2)²)与y=a2x相切

即√(1-(x-2)²)=a2x有一解

(a2²+1)x²-4x+3=0

△=16-12(a2²+1)=0

a2=±√3/3

由图得a2=√3/3

第二区间（3,5】与a1x相切

此时方程f(x)=√(1-(x-4)²)

即√(1-(x-4)²)=a1x有一解

(a1²+1)x²-8x+15=0

△=64-60(a1²+1)=0

a1=√15/15

a1＜a＜a2

即√15/15＜a＜√3/3

Answer 2

解：(1)设x∈Ik ,则x-2k∈I0，又f(x)以2为周期，∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)^2.
(2)方程化为(x-2k)^2=ax,x^2-(4k+a)x+4k^2=0,
它有不等实根，∴[-(4k+a)]^2-16k^2=a^2+8ak>0,a>0或a<-8k (1)
它的两根在Ik上，∴2k-1<[(4k+a)-√(a^2+8ak)]/2,且[(4k+a)+√(a^2+8ak)]/2≤2k+1,
化简得√(a^2+8ak)<2+a,且√(a^2+8ak)≤2-a,
平方得a^2+8ak<4+4a+a^2,且a^2+8ak≤4-4a+a^2,
即(2k-1)a<1,且(2k+1)a≤1,
∵k为自然数，∴k=0时，-1<a≤1;k≥1时，a≤1/(2k+1). (2)
求(1),(2)的交集得Mk={a∣0<a≤1/(2k+1)}.

追问

额。。f(x)=f(x-2k)=(x-2k)^2. 为什么是平方啊？

追答

以2为周期

Answer 3

：(1)设x∈Ik ,则x-2k∈I0，又f(x)以2为周期，∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)^2.
(2)方程化为(x-2k)^2=ax,x^2-(4k+a)x+4k^2=0,
它有不等实根，∴[-(4k+a)]^2-16k^2=a^2+8ak>0,a>0或a<-8k (1)
它的两根在Ik上，∴2k-1<[(4k+a)-√(a^2+8ak)]/2,且[(4k+a)+√(a^2+8ak)]/2≤2k+1,
化简得√(a^2+8ak)<2+a,且√(a^2+8ak)≤2-a,
平方得a^2+8ak<4+4a+a^2,且a^2+8ak≤4-4a+a^2,
即(2k-1)a<1,且(2k+1)a≤1,