Question

已知数列An=n除以2的n次方，求A1加到An的和的表达式

请说出方法
正确者再另加积分

Answer 1

这是一类{An*Bn}类型的数列
其中An是等差数列，Bn是等比数列
求这种数列前n项和的题目在中学考试中很常见

解决这类问题的一般方法是：错位相减法。
就是设S=前n项和，q是Bn的公比
那么把S乘上q，再与S相减，差的大部分项就是一个等比数列了。

以本题为例，设S=A1加到An的和
S=1/2+2/4+3/8+……+n/(2^n)
则2S=1+2/2+3/4+……+n/[2^(n-1)]
S=2S-S={1+2/2+3/4+……+n/[2^(n-1)]}-[1/2+2/4+3/8+……+n/(2^n)]
=1+1/2+1/4+……+1/[2^(n-1)]-n/(2^n)
=2-1/[2^(n-1)]-n/(2^n)

Answer 2

等式两边同时除以2^(n+1)
得到an+1/2^(n+1)-an/2^n=1/2
所以an/2^n
是一个等差数列，由等差数列公式知：
an/2^n=a1/2+(n-1)*1/2
因为a1=1
所以求得an/2^n=n/2
所以有an=n*2^(n-1)

Answer 3

以前做过的一类题,这种解题是一种特殊的技巧,需要记住。方法如下:
令M=A1+A2……+An=(1/2)+(2/2^2)+……+(n/2^n) 一式
则M/2=(1/2^2)+(2/2^3)+……+((n-1)/2^n)+(1/2^(n+1)) 二式
则用上面一式减二式(分母相同的对应相减)：
M-M/2=(1/2)+(1/2^2)+……+(1/2^n)-(1/2^(n+1))=1-(1/2^n)-(1/2^(n+1)) (运用等比数列求和公式)

则有M/2=1-(3/2^(n+1))
从而有M=2-(3/2^n)
总结经验：此数列的特点是，分子成等差形式增长，分母成等比形式增长。这种特点的数列求和就应该先乘或除分母等比数列的公比，将得到的式子与原式作差，再用等比数列求和公式即可得到表达式，按此技巧求解便可。

Answer 4

分数真诱人,题目真简单,解法如下
A1=1/2 A2=2/2^2 A3=3/2^3 ……An=n/2^n

把An的分母都化为2^n,则A1=2^(n-1)/2^n
A2=2*2^(n-2)/2^n
A3=3*2^(n-3)/2^n
……
An=n/2^n

现在设它们的和为E，则E=(2^(n-1)+2*2^(n-2)+3*2^(n-3)+…………+n)/(2^n),要求E，就必须把
(2^(n-1)+2*2^(n-2)+3*2^(n-3)+…………+n)求出来，现设它为G，G=2^(n-1)+2*2^(n-2)+3*2^(n-3)+…………+n 则2G=2^n+2*2^(n-1)+3*2^(n-2)+…………+2n,用叠项相减法可以得到 G=2^n+(2^(n-1)+2^(n-2)+…………+2)-n,继续运算，得到G=2^(n+1)-2-n
然后根据上面的E=G/（2^n)得到，E=（2^(n+1)-2-n）/ 2^n
所以最终的表达式为（2^(n+1)-2-n）/ 2^n