Question

已知f(x)是定义在区间[-1,1]上的奇函数，且f(1)1,若m、n属于[-1,1],m+n≠0，有[f(m)+f(n)]/m+n>0,

若f(x)<=t^2-2at+1对所有x属于[-1,1],a属于[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围。

谁帮忙求解下，要有步骤。谢谢！

Answer 1

因为，f(x)在[-1,1]上是奇函数，所以有：f(-x)=f(x)，
设x1<x2属于[-1,1]所以，f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)，
又因为[f(m)+f(n)]/(m+n)>0，
所以
[f(x1)+f(-x2)]/x1-x2>0,
又因为x1-x2<0，所以f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)<f(x2)，
所以f(x)在[-1,1]上是增函数。

所以f(x)在[-1,1]上的最大值是f(1)=1.
若f(x)<=t^2-2at+1对所有x属于[-1,1]恒成立，
只需f(1) <=t^2-2at+1，即t^2-2at>=0,
设g(a)= t^2-2at,
这是关于a的一次函数，它的最小值必定在端点处取到。
所以t^2-2at>=0对所有a属于[-1,1]恒成立，
只需g(1)>=0,g(-1)>=0,
即t^2-2t>=0, t^2+2t>=0
解得t≥2或t≤-2或t=0.

Answer 2

取m、-n，那么可得【f（m）-f（n）】/（m-n）>0，知道f（x）是单调递增的，那么最大就是f（1）=1.
则t^2-2at+1>=1对所有a属于[-1,1]恒成立，对其配方，得
（t-a）^2-a^2>=0，t*（t-2a）>=0，要么t-2a<=0,t<=0，要么t-2a>=0,t>=0.
这样解得t<=-2,t>=2。当然t=0也是可以的。

Answer 3

f（x）在[-1，1]上是增函数，
且f（1）=1，故对x∈[-l，1]，恒有f（x）≤1．
所以要使f（x）≤t2-2at+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
即要t2-2at+1≥1成立，故t2-2at≥0成立．
记g（a）=t2-2at对a∈[-1，1]，g（a）≥0恒成立，
只需g（a）在[-1，1]上的最小值大于等于零．
故 t＞0 g(1)≥0 或 t≤0 g(-1)≥0 解得：t≤-2或t=0．