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已知,如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F。求证:AD垂直平分EF
3个回答
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解:因为AD是△ABC的角平分线
所以<BAD=<DAC
又因为DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F
所以<AED=<DFA
又AD共线 故 三角型ADE全等于三角型AFD
故AE=AF
又因为 AG相等(G为AD与EF交点)
<AED=<DFA
故三角型AEG全等于三角型AGF
又应为G在EF线上,<AED=<DFA
故AD平分EF
又因为AE=AF
故AD垂直平分EF
所以<BAD=<DAC
又因为DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F
所以<AED=<DFA
又AD共线 故 三角型ADE全等于三角型AFD
故AE=AF
又因为 AG相等(G为AD与EF交点)
<AED=<DFA
故三角型AEG全等于三角型AGF
又应为G在EF线上,<AED=<DFA
故AD平分EF
又因为AE=AF
故AD垂直平分EF
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∵AD是∠BAC的平分线
∴∠EAD=∠FAD
又∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠AED=∠AFD=90°
边AD公共
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)
∴AE=AF
即△AEF为等腰三角形
而AD是等腰三角形AEF顶角的平分线
∴AD⊥底边EF
(等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合(简写成“三线合一”)
与楼上两个答案哪个对?
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解:AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,所以DE=DF,所以角DEF=角DFE
又因为角DEA=角DFA=90度,所以角AEF=AFE
可得AD是等腰△AEF的的角平分线,所以AD垂直平分EF
又因为角DEA=角DFA=90度,所以角AEF=AFE
可得AD是等腰△AEF的的角平分线,所以AD垂直平分EF
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