Question

(高中数学)函数，导数，取值范围问题？

这道选择题怎么根据选项选出答案？

Answer 1

选C，过程如下：
设g(x)=f(x)-x²，
显然，g(x)=g(-x)，且x>0时，g'(x)=f'(x)-2x>0。
由导数定义可知，g(x)在(0,+∞)上递增，又g(x)为偶函数，则在（-∞，0）上递减。
不等式可转化为g(2-x)>g(x),以下分别讨论：
当x>2时，0<x-2<x , g(2-x)=g(x-2)<g(x)
当1<x<2时，0<2-x<x，g(2-x)<g(x)
当0<x<1时，0<x<2-x, g(x)<g(2-x) 成立

当x≤0时，0<-x<2-x,g(x)=g(x)<g(2-x) 成立

综上，可知，不等式解集为（-∞，1）

Answer 2

构造函数g(x)=f(x)–x²(x∈R)
g'(x)=f'(x)–2x
当x＞0时，g'(x)＞0，g(x)单调递增
g(–x)=f(–x)–(–x)²=f(x)–x²=g(x)
所以g(x)为偶函数
f(2–x)–f(x)＞4–4x
f(x–2)＋4x–4＞f(x)
f(x–2)–x²＋4x–4＞f(x)–x²
f(x–2)–(x–2)²＞f(x)–x²
即g(x–2)＞g(x)
|x–2|＞|x|
x²–4x＋4＞x²
x＜1
选择C

追问

为什么你会想到构造这个函数？

追答

f'(x)＞2x
→f'(x)–2x＞0
如果这是某个函数的导函数的话不就可以判断单调性了

追问

牛🐮! 那解答这道题需要有什么数学思想和方法？

追答

f(2–x)–f(x)＞4–4x
由于函数f(x)并不知道，要想解这不等式只能通过单调性。
同构思想
将不等式两边化成结构相似
这样就可以通过构造函数利用单调性进行求解了

4–4x与2–x很容易就能看出之间的联系
4–4x=(2–x)²–x²
通过移项就能使不等式左右两边结构相似
f(2–x)–(2–x)²＞f(x)–x²
很自然就能想到构造函数g(x)=f(x)–x²
这不等式也就变成了g(2–x)＞g(x)

同构思想
比如
对于任意的x＞1/3，不等式4x–ln(3x)≤ae^x–lna(a＞1)恒成立，求a的取值范围。
此题也需要有同构思想

追问

好的，谢谢！我慢慢体会吧