Question

已知sin(π-α)-cos(π+α)=√2/3(π/2<α<π)求sin^3(2π-α)+cos^3(2π-α)的值

Answer 1

sin(π-α)-cos(π+α)=√2/3 可以化为 sinα+cosα=√2/3
两边平方得 sin²α+cos²α+2sinαcosα=2/9 得sinαcosα=-7/18
又（cosα-sinα）²=cos²α-2sinacosα+sin²α=1+2*7/18=16/9
又π/2<α<π 所以cosα-sinα<0 从而cosα-sinα=-4/3
sin^3(2π-α)+cos^3(2π-α)=-sin³α+cos³α
=(cosα-sinα)(cos²α+cosαsinα+sin²α）
=-4/3 * （1-7/18）
=-22/27

Answer 2

sin(π-a)=sina
cos(-a)=cosa
sin(π+a)=-sina
cos(2π-a)=cosa
所以sin(π-a)-cos(-a)=sina-cosa=√2/3

所以[sin(π+a)]^3+[cos(2π-a)]^3=-(sina)^3+(cosa)^3
=-(sina-cosa)[(sina)^2+(cosa)^2+sinacosa]
=-√2/3(1+sinacosa)
因为(sina-cosa)^2=(sina)^2+(cosa)^2-2sinacosa
=1-2sinacosa=3/4
所以sinacosa=1/8
原式=-√2/3(1+1/8)=-3√2/8