Question

f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1处的切线方程为y=3x+1

（1）若函数y=f（x）在x=-2时有极值，在[-2，m]上的值域为[95/27，13]，求m的取值范围
（2）若y=f（x）在区间[-2,1]上单调递增，求b的取值范围

Answer 1

f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1处的切线方程的斜率为：
f'(x)=3x^2+2ax+b 将x=1代入得到：
f'(x)=3+2a+b=3 2a+b=0 (1)
在切线上，当x=1时，y=4.即切点为(1,4)，它在函数f(x)上，代入f(x)得：
1+a+b+c=4 a+b+c=3 (2)

(1)若函数y=f（x）在x=-2时有极值，则f'(x)在x=-2处为0，即
12-4a+b=0 4a-b=12 (3)
联立式(1) (2) (3) 得到：a=2，b=-4，c=5
f(x)=x^3+2x^2-4x+5
令f'(x)=3x^2+4x-4=0 x1=-2 x2=2/3
x∈(-∞,-2] f’(x)>0 f(x)单调递增
x∈[-2,2/3] f’(x)<0 f(x)单调递减
x∈[2/3,+ ∞) f’(x)>0 f(x)单调递增
当x=-2时，f(-2)=13; f(x)的极大值是13
当x=2/3时，f(2/3)=95/27 f(x)的极小值是95/27
题中x∈[[-2，m]上的值域为[95/27,13]，则可知：
m≥2/3

(2)根据(1) (2)得到：a=-b/2 c=3-b/2
若y=f（x）在区间[-2,1]上单调递增，则
f'(x)=3x^2+2ax+b=3x^2-bx+b 在[-2,1]恒大于等于0且不恒等于0
有三种情况:
1）方程3x^2-bx+b=0 △≤0 0≤b≤12
2）f'(x)=3x^2-bx+b 对称轴 x=b/6<-2且f'(-2)≥0
b<-12 且 b≥-4 不成立，舍去
3）对称轴 x=b/6>2/3且f'(2/3)≥0
b>4 且 b≥-4 得：b>4
综上所述：4<b≤12
希望帮助到了lz，望采纳，谢谢！