Question

高中的不等式问题

1.设a,b,c是正数，求证a^/b+b^/a大于等于a+b 和a^/b+b^/c+c^/a大于等于a+b+c
2.0小于a小于1，求证：1/a+4/1-a大于等于9.

Answer 1

解：
[1]
利用基本不等式得：
a^2/b+b≥2√[(a^2/b)*(b)]=2a ----(1)
同理可得：
b^2/c+c≥2b ---(2)
c^2/a+a≥2c ---(3)
b^2/a+a≥2b ---(4)
三式相加得：
a^2/b+b^2/c+c^2/a≥a+b+c
(1)+(4)得：
a^2/b+b^2/a≥a+b

[2]证明:设1-a=b＞0,则:a+b=1
∴1/a+4/(1-a)
=1/a+4/b
=(a+b)(1/a+4/b)
=1+(b/a)+4+(4a/b)
=5+[(b/a)+(4a/b)]
≥5+2√[(b/a)(4a/b)]=9
∴1/a+4/(1-a)≥9

Answer 2

2. 证明：因为（a-1/3）平方大于等于0．所以展开得9a方-6a+1大于等于0．则变形得1+3a大于等于9a-9a方．又因为a大于0小于1，所以a-a方大于0，则两边同除以a-a方得（1+3a）/（a-a方）大于等于9．即1/a+4/（1-a）大于等于9．所以原题成立

Answer 3

b+a²/b≥2a
a+b²/a≥2b
所以b+a²/b+a+b²/a≥2(a+b)
a²/b+b²/a≥a+b

b+a²/b≥2a
c+b²/c≥2b
a+c²/a≥2c
所以(a+b+c)+(a²/b+b²/c+c²/a)≥2(a+b+c)
a²/b+b²/c+c²/a≥a+b+c

因为0<a<1
所以a>0,1-a>0
1/a+4/(1-a)
=(a+1-a)/a+4(a+1-a)/(1-a)
=1+(1-a)/a+4a/(1-a)+4
≥5+4=9
所以1/a+4/(1-a)≥9

Answer 4

1.a^/b+b^/a是什么
2记1/a=t，则t＞1，4/1-a=4+4/(t-1)
1/a+4/1-a=t+4+4/(t-1)=t-1+4/(t-1)+5≥2*[(t-1)(4/t-1)]+5=4+5=9