Question

高中基本不等式问题

基本不等式（a+b)/2≥√(ab)变形使左右两边同时加上a与b得到2(a+b)≥2√(ab)+a+b本式右边得(√a+√b)^2 后使左右两边同时除4得到(a+b)/2≥(√a+√b)^2 /4
（a+b)/2≥√(ab)这式子变形会出现(a+b)/2≥(√a+√b)^2 /4这里√(ab)与(√a+√b)^2 /4的关系是什么，为什么不等式同一式子变形后会出现不同变化

Answer 1

假定a和b都有是按公式定义的，你所推导出的式子在本质上与基本公式一致，只不过你中间加了一步：(a+b)/2=(a+b)/4+(a+b)/4 ≥ (a+b)/4+√(ab)/2=(√a+√b)^2 /4，这中间有一处使用了不等号就是就用基本公式得来的。
基本公式的变形在很多时候还很有用的，三角函数中倍角的余弦公式、梯形的面积等于两底和之半乘高除以2与其中线长度乘2、圆的面积лr^2与лd^2/4、余弦定理中的求边与求角公式等。即便如本问中的不等式，也分作调和平均数、几何平均数、算术平均数和均方根若干比较式，它们导出都依存于基本公式。

追问

我用基本不等式(a+b)/4 ≥√(ab)/2两边同时加了个(a+b)/4，那不等式应该还是等价的啊，但为什么会出现不等价的式子 还有你说的‘这中间有一处使用了不等号就是就用基本公式得来的’是神马意思

追答

不等式还是原来意义上的不等式，你所导出的式子难道与原式不等价？是变成等式了还是变成反向不等号了？、或者是变得无法比较了吗？一个平衡的天秤两端同样加码还是平衡的，一个不平衡的天秤两边同样加码无论零星加还是倍加它也不会出现平衡状况，这是其本质决定的，非因你计量单位变化或起了个不一样的名字就鹿马互变。
至于你推导过程有没有使用原基本不等式不是一目了然吗，“两端同时加上a、b ”，是在原不等式基础上加的，相加后你为啥不写成等号或小于号？是你自然相信“等式两端等量增加仍为等式，不等式两端等量相加仍为不等式”，心底里已首先承认和使用了基本不等式结论，然后才有然后，不然哪有然后。

Answer 2

如果a、b都是负数呢？我的朋友，ab可以是正的，因为a、b可以是全正的或者是全负的，但是不能分开的。明白？ √(ab) 这个可以有，但 √a和√b不可以有，你无形中约定了a、b都是正数，明白？呵呵。

追问

不等式（a+b)/2≥√(ab)中a与b必定都是正实数

Answer 3

a^2+b^2>=2ab,(a+b)^2>=4ab,((a+b)/2)^2>=ab,换元可得√(ab)<=(√a+√b)^2 /4,a=b时，"="成立

追问

为神马不等式同一式子变形后会出现不同变化，是不是我变形中有问题

追答

不是，因为（a+b)/2≥√(ab)和(a+b)/2≥(√a+√b)^2 /4两式取等号的条件是相同的，都是a=b,而此时√(ab)=(√a+√b)^2 /4，所以两式确定范围还是相同的。a!=b时，(a+b)/2>(√a+√b)^2 /4>√(ab);a=b时(a+b)/2=(√a+√b)^2 /4=√(ab).