Question

已知：a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：（1） ；（2） ．

Answer 1

（1）利用分析法，我们易得要证 成立，即证 ，由已知中a＞0，b＞0，且a+b=1，根据基本不等式易得答案．
（2）由已知中a＞0，b＞0，可得 ，即 ，令t=ab（ ），结合对勾函数的单调性可得答案．
证明：（1）要证 成立，
只要证： ，
只要证：
∵a＞0，b＞0，
∴ ，即 成立，
∴ 成立．…（4分）
（2）∵a＞0，b＞0，
∴ ，
∴ ，…（5分）
令t=ab（ ），
则设 ，
，
则当 时，y' t ＜0恒成立，
∴ 在区间 是减函数，…（8分）
∴当 时， ，
∴
即 ．…（10分）