Question

一只a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ),0＜α＜β＜π(1)求|a|的值（2）求证：a+b与a-b互相垂直

Answer 1

(1)a=(cosα，sinα)
a²=cos²α+sin²α=1 所以|a|=1
(2)a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)
则a²=1，b²=1
(a+b)•(a-b)
=a²-b²=1-1=0
又0＜α＜β＜π
由于cosx在0＜x＜π上是减函数
所以cosα≠cosβ即cosα-cosβ≠0
所以a-b不是零向量
sinα>0，sinβ>0所以sinα+sinβ≠0
所以a+b不是零向量
两个非零向量的数量积为0
所以a+b与a-b互相垂直
注：证两个向量垂直时，只证得数量积为0，还不够，必须说明两个都是非零向量，因为零向量没有垂直的定义！

Answer 2

(1) |a|^2=cosa^2+sina^2 =1 又|a|>0
所以|a|=1
(2) 令c=a+b=(cosa+cosb，sina+sinb) ， d=a-b=(cosa-cosb,sina-sinb)
c·d=cosa^2-cosb^2+sina^2-sinb^2
=sina^2+cosa^2 -(sinb^2+cosb^2)
=1-1
=0
由于c·d=0是c与d垂直的充要条件
因此 原命题得证

Answer 3

|a|=√(cos^2a+sin^2a)=1,同理|b|=1
(a+b)(a-b)=a^2-b^2=1-1=0,所以a+b与a-b互相垂直。

Answer 4

|a|＝√（cos^2α+sin^2α)=1
a+b=(cosα+cosβ，sinα+sinβ)
a-b=(cosα-cosβ，sinα-sinβ)
(a+b)(a-b)=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)=0
因此a+b与a-b互相垂直